HDU-2082(母函数)vnsc5858威尼斯城官网

时间:2019-11-15 23:36来源:计算机教程
HDU-2082(母函数) 生成函数,英文是GeneratingFunction。恕本人不才,本文只介绍生成函数的其中一种用法。 找单词 Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K(Java/Others) Total Submi

HDU-2082(母函数)

生成函数,英文是Generating Function。恕本人不才,本文只介绍生成函数的其中一种用法。

找单词

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 2739 Accepted Submission(s): 1941  

Problem Description 假设有x1个字母A, x2个字母B,..... x26个字母Z,同时假设字母A的价值为1,字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么,对于给定的字母,可以找到多少价值<=50的单词呢?单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和,比如,单词ACM的价值是1 3 14=18,单词HDU的价值是8 4 21=33。(组成的单词与排列顺序无关,比如ACM与CMA认为是同一个单词)。

 

Input 输入首先是一个整数N,代表测试实例的个数。 然后包括N行数据,每行包括26个<=20的整数x1,x2,.....x26.

 

Output 对于每个测试实例,请输出能找到的总价值<=50的单词数,每个实例的输出占一行。

 

Sample Input 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9

 

vnsc5858威尼斯城官网,Sample Output 7 379297

 

Source 2006/1/15 ACM程序设计期末考试

 

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生成函数是说,构造这么一个多项式函数g(x),使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数,看到最多的是这样两句话:

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

 

例子:

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚,问能称出哪几种重量?每种重量各有几种方案?

下面是用母函数解决这个问题的思路:

首先,我们用X表示砝码,X的指数表示砝码的重量。那么,如果用函数表示每个砝码可以称的重量,

1个1克的砝码可以用函数X^0 X^1表示,

1个2克的砝码可以用函数X^0 X^2表示,

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘,可以得到X^0 X^1 X^2 X^3。继续把它与X^0 X^3相乘,得到X^0 X^1 X^2 2*X^3 X^4 X^5 X^6。

接着把它与X^0 X^4相乘,最后得到X^0 X^1 X^2 2*X^3 2*X^4 2*X^5 2*X^6 2*X^7 X^8 X^9 X^10。

由于X的指数表示的是重量,所以,在相乘时,根据幂的运算法则(同底幂相乘,指数相加),得到的结果正是所有的方案。而且,每个X前面的系数代表它有几种方案。

需要注意的是,如果有2个1克的砝码,应该用X^0 X^1 X^2表示,而不是X^0 2*X^1。

 

母函数还可以解决其他问题,比如,整数划分。

整数划分是个很经典的问题,划分规则就不再细述,直接说思路。与上面的问题相比,每种砝码的个数不再是1个,而是无限个。于是,

1克的砝码可以用X^0 X^1 X^2 X^3 ……表示,

2克的砝码可以用X^0 X^2 X^4 X^6……表示,

3克的砝码可以用X^0 X^3 X^6 X^9……表示,

依次类推。

相乘后求出X^n的系数,就是结果。

 

总而言之,解决此类问题,只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组,c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数,c2[ ]保存每次计算时的临时结果,当每次计算完毕后,把它赋给c1,然后c2清零。

计算的时候,开3层for循环。最外层,记录它正在与第几个多项式相乘。第二层,表示c1中的每一项,第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

 

代码:

 

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long llu;

const int maxd=200;
//---------------------
llu c1[maxd],c2[maxd];
int x[30];
int n;

int main()
{
    freopen("1.txt","r",stdin);
    int kase;
    scanf("%d",&kase);
    while(kase--)
    {
        //int cnt=0;
        for(int i=1; i<=26;   i)
            scanf("%d",&x[i]);
        mem(c1,0),mem(c2,0);
        c1[0]=1;
        for(int i=1; i<=26;   i)
        {
            for(int j=0; j<=50;   j)
            {
                for(int k=0; k j<=50 && k<=x[i]*i; k =i)
                    c2[k j] =c1[j];
            }
            for(int k=0; k<=50;   k)
                c1[k]=c2[k],c2[k]=0;
        }
        llu sum=0;
        for(int i=1; i<=50;   i)
            sum =c1[i];
        printf("%llun",sum);
    }
    return 0;
}

 

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生成函数是说,构造这么一个多项式函数g(x),使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数,我看到最多的是这样两句话:

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

其实这两句话我也不算太懂。先放这里,说不定以后可能会慢慢理解吧。

 

还是先举个大牛博客中的例子吧:

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚,问你能称出哪几种重量?每种重量各有几种方案?

下面是用母函数解决这个问题的思路:

首先,我们用X表示砝码,X的指数表示砝码的重量。那么,如果用函数表示每个砝码可以称的重量,

1个1克的砝码可以用函数X^0 X^1表示,

1个2克的砝码可以用函数X^0 X^2表示,

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘,可以得到X^0 X^1  X^2  X^3。继续把它与X^0  X^3相乘,得到X^0  X^1  X^2 2*X^3  X^4  X^5  X^6。

聪明的你,是不是发现了什么?

如果没有,接着把它与X^0 X^4相乘,最后得到X^0 X^1 X^2 2*X^3 2*X^4 2*X^5 2*X^6 2*X^7  X^8  X^9  X^10。

由于X的指数表示的是重量,所以,在相乘时,根据幂的运算法则(同底幂相乘,指数相加),得到的结果正是所有的方案。而且,每个X前面的系数代表它有几种方案。

真是神奇啊。。。。

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